Atât „maxim” cât și „maximum” reprezintă forme corecte dacă sunt așezate într-un context potrivit din punct de vedere gramatical. Cele două au același înțeles, definite ca cea mai mare valoare peste care nu se poate trece. Cu toate acestea, nu se folosesc la întâmplare, ci există câteva reguli după care va trebui să ne ghidăm.
Dicționarul Explicativ al Limbii Române (2009)
MÁXIM1, maximuri, s. n. Maximum. – Din maximum (după maxim2).
MÁXIM2, -Ă, maximi, -e, adj., s. f. 1. Adj. Care are cea mai mare dimensiune, durată, intensitate etc.; foarte mare; maximal. 2. S. f. Cea mai mare valoare pe care o poate avea, într-un anumit interval, o funcție sau o cantitate variabilă. ♦ Centru de înaltă presiune atmosferică. – Din lat. maximus, fr. maxime, maxima.
MÁXIMUM s. n. 1. Limita superioară peste care nu se poate trece; maxim1. ◊ Loc. adv. La maximum = în cel mai înalt grad. 2. Cea mai mare cantitate, valoare, intensitate; maxim1. ♦ (Adverbial) În cantitatea, timpul, spațiul maxim2 posibil. – Din lat. maximum, fr. maximum.
Dicționarul Ortografic, Ortoepic și Morfologic al Limbii Române (2021)
maxim1 adj. m., pl. maximi; f. maximă, pl. maxime
!maxim2 s. n., pl. maxime (~ de temperatură) / maximuri (~ de pedeapsă)
maximum1 adv. (~ doi, doi ~)
maximum2 s. n., art. maximumul
maximum (la ~) loc. adv.
Vom folosi „maxim”, dacă într-o propoziție/sintagmă acesta va prelua rolul de adjectiv și se va acorda cu substantivul pe care îl determină.
De exemplu: A fost afișat prețul maxim. În această situație maxim este adjectiv și se acordă cu substantivul preț.
„Maxim” poate fi chiar el însuși substantiv: maximul de valoare.
Dacă, însă, va avea rol de adverb, atunci folosim „maximum”. În acest caz poate sta fie pe lângă un verb, fie pe lângă un numeral.
De exemplu: Profită la maximum de timpul liber primit. (La maximum determină un verb.)
Scrie un eseu de maximum 300 de cuvinte.; Ne vom schimba locuința în maximum doi ani.; Voi fi plecată pentru maximum 10 minute. (Maximum este pus în acord cu un numeral.)
Dicționarul morfologic în ultima sa ediție ne atrage atenția că maximum poate ocupa chiar și poziția de substantiv, articulat maximumul sau că poate intra în componența unei locuțiuni adverbiale.
Așadar, utilizarea corectă a termenilor puși în discuție va presupune cunoașterea părților de vorbire în care se încadrează.
Prin urmare:
Corect: maxim, maximum, în funcție de contextul gramatical
Aprecierea ta înseamnă un plus de motivație pentru noi!
Încearcă și cursurile noastre! 
Alte sugestii pentru tine:
Perfect simplu sau mai-mult-ca-perfect? Alege forma corectă!
„Respectos” sau „respectuos”? Cum ne exprimăm corect?
„Întradevăr” sau „într-adevăr”? Care este varianta corectă?
„Șchioapătă” sau „șchiopătează”? Cum conjugăm corect?